tham khảo :

https://lazi.vn/edu/exercise/582904/cho-hinh-thang-abcd-ab-cd-cheo-cat-nhau-tai-o-p

Ta có: MN // AB (gt); AB // CD(gt) => MN // AB // CD

Xét tam giác ABC có: OM // AB (MN // AB)

 =>  \(\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{CM}{CA}\) (hệ quả định lý Ta lét trong tam giác) (1)

Xét tam giác ABD có: ON // AB (MN // AB)

=>   \(\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{DN}{DB}\) (hệ quả định lý Ta lét trong tam giác) (2)

Xét hình thang ABCD có: MN // AB // CD (cmt)

 => \(\dfrac{CM}{CA}=\dfrac{DN}{DB}\) (định lý Ta lét trong hình thang) (3)

Từ (1) (2) (3) => OM = ON

Trong ∆DAB có: \(\dfrac{MO}{AB}=\dfrac{DO}{DB}\)  ( hệ quả Ta lét)    (1)

Trong ∆CAB có: \(\dfrac{NO}{AB}=\dfrac{CO}{AC}\)  ( hệ quả Ta lét)     (2)

Trong ∆OAB có: \(\dfrac{CO}{CA}=\dfrac{DO}{DB}\)  ( hệ quả Ta lét)     (3)

từ (1),  (2), (3) => \(\dfrac{MO}{AB}=\dfrac{NO}{AB}\) =>\(MO=NO\)

BẠN DÙNG ĐỊNH LÝ TA-LÉT ĐỂ C/M OM=ON

Vì OM // AB & OM // CD nên 

\(\frac{OM}{AB}=\frac{DM}{AD}\&\frac{OM}{CD}=\frac{AM}{AD}\)

\(\Rightarrow\frac{OM}{AB}+\frac{OM}{CD}=\frac{DM}{AD}+\frac{AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow OM\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{DM+AM}{AD}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{1}{OM}\)(1)

TƯƠNG TỰ \(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CB}=\frac{1}{ON}\)(2)

CỘNG VẾ VỚI VẾ CỦA (1) VÀ (2) TA CÓ:

\(2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{ON}\)MÀ OM=ON(C/M TRÊN) NÊN MN=2.OM

\(\Rightarrow2\left(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}\right)=\frac{1}{OM}+\frac{1}{OM}=\frac{2}{OM}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{2.OM}=\frac{2}{MN}\left(ĐPCM\right)\)

Mình mới học lớp 5 thôi nên chỉ vẽ hình thôi à! Thông cảm nha!

Hình như sau:

Thấy đúng thì !

\(\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}\Leftrightarrow\frac{MN}{AB}+\frac{MN}{CD}=2\)

Do M0//AB=>\(\frac{MO}{AB}=\frac{MD}{AD}\)

Do MO//CD=>\(\frac{MO}{CD}=\frac{AM}{AD}\)

=>\(\frac{MO}{AB}+\frac{MO}{CD}=\frac{MD}{AD}+\frac{AM}{AD}=1\)

Tương tự ta có \(\frac{NO}{AB}+\frac{NO}{CD}=\frac{BN}{BC}+\frac{CN}{BC}=1\)

Suy ra \(\frac{MO}{AB}+\frac{MO}{CD}+\frac{NO}{AB}+\frac{NO}{CD}=\frac{MN}{AB}+\frac{MN}{CD}=1+1=2\left(ĐPCM\right)\)

Xét △ADC có :MO // DC  

\(\Rightarrow\frac{MO}{DC}=\frac{AO}{AC}\)(Hệ quả định lí Thales)   (1)

Xét △BDC có : ON // DC

\(\Rightarrow\frac{NO}{DC}=\frac{BO}{BD}\)(Hệ quả định lí Thales)    (2)

Xét △ODC có AB // DC

\(\Rightarrow\frac{AO}{AC}=\frac{BO}{BD}\)(Theo hệ quả định lí Thales)   (3)

Từ (1) ; (2) và (3) :

\(\Rightarrow\frac{OM}{CD}=\frac{ON}{CD}\)

\(\Rightarrow OM=ON\left(ĐPCM\right)\)

Trong ΔDAB, ta có: OM // AB (gt)

 (Hệ quả định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔCAB, ta có: ON // AB (gt)

 (Hệ quả định lí Ta-lét) (2)

Trong ΔBCD, ta có: ON // CD (gt)

Suy ra:  (định lí Ta-lét) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: 

Vậy: OM = ON